Problemas de sistemas de ecuaciones

Aprender a plantear un problema de sistema de ecuaciones es una labor que usualmente requiere entrenamiento, pues al estudiante no le es fácil pasar del lenguaje ordinario al algebraico. No hay recetas mágicas, pero si se puede dar una serie de pasos a seguir.
Como consejo general podemos decir nunca hay que lanzarse a plantear las ecuaciones directamente sin haber leído el problema y sin haber seguido, aunque sea mentalmente, esta serie de pasos.
Visualizaremos esto con un ejemplo:

Hace 7 años la edad de Nuria era el triple que la de Javier, dentro de 7 años será sólo la mitad, ¿qué edad tiene cada uno?

1. Ponemos nombre a las incógnitas, como nos preguntann la edad de Nuria y Javier, escribimos
   x = edad de Nuria
   y = edad de Javier
   No hay que pecar de rápido, es un error poner por ejemplo x = Nuria, hay que tener claro lo que es cada incógnita
2. Como tenemos dos incógnitas, necesitaremos dos ecuaciones y estas ecuaciones deberán estar en el texto identificaremos "las historias" que representan cada ecuación
   1ª historia: Hace 7 años la edad de Nuria era el triple que la edad de Javier
   2ª historia: Dentro de 7 años la edad de Nuria será el doble que la edad de Javier
   Es importante escribir las historias completas, evitando las elipsis gramaticales, sería un error haber escrito.
   2ª Historia: Dentro de 7 años será solo la mitad.
   También es conveniente introducir en la historia las palabras con la que hemos definidos las incógnitas (edad de Nuria y edad de Javier)
   
3. Ahora hay que plantear las ecuaciones, que es lo más difícil aquí va un "truco"
   • Reescribimos las historias colocando el signo igual, lo haremos para la primera historia
     1ª Historia Hace 7 años la edad de Nuria = el triple de la edad de Javier
   • Escribimos la expresión algebraica de cada miembro ¡Ahora es cuando hay que usar las incógnitas!
     La edad de Nuria hace 7 años = x - 7
     El triple de la edad de Javier = 3(y-7) No olvidar el paréntesis
     
   • Si  no nos "sale la ecuación " podemos ponernos ejemplos numéricos, que resolveremos siempre mirando las operaciones y no el resultado
     ¿Hace 7 años que edad tenía yo? (tenía mi edad menos 7), ¿Qué edad tenía hace 7 años una persona que tiene ahora 20 años? Debemos llegar a la conclusión de que la edad hace 7 años, se calcula restando a la edad actual el número 7
4.  Nuestro sistema entonces será
   x - 7 = 3 (y - 7)
   
   x + 7 = 2 (y + 7)
   
   
5.   Finalmente resolvemos la ecuación obteniendo los valores x = 49 e y = 21 que serán las edades respectivas de Nuria y Javier
   
6. Por último comprobamos, hace 7 años Nuria tenía 49 - 7 = 42 años, y Javier 21 - 7 = 14. Efectivamente 42 = 14 · 3
   Dentro de 7 años la edad de Nuria será 49 + 7 = 56, y la de Javier 21 + 7 = 28.
   Efectivamente 56 = 2 ·28
   Si nos queda alguna duda rehaciendo el problema a partir de la solución podemos entenderlo mejor

La medición de altura y distancias II

Ya Ersatótenes midió grandes distancias, contando las vueltas que dan las ruedas de un carro, este sistema es el que usa el cuantakilómetros de nuestro coche, pero ¿que pasa si hay un obstáculo en el medio en el cual nuestro coche no puede pasar? Deberíamos dar un rodeo, pero entonces la distancia variaría. Este problema, fue el que se encontraron Jorge Juan y Antonio de Ulloa, cuando quisieron medir el grado del meridiano. Una cuestión similar encontramos cuando queremos medir la altura de una montaña. Hoy en día los satélites y sus láseres, nos resuelven el problema, pero no olvidemos que estos aparatos deben ser calibrados con medidas hechas por otro método.
Visualizaremos la cuestión con el siguiente ejemplo: Imaginemos que desde el mar queremos medir la distancia y la altura que nos separa a una torre sobre una montaña. Para ellos necesitaremos un aparato de medida de ángulos y un dispositivo para medir distancias.

Si realizamos dos mediciones de ángulos desde dos puntos separados por ejemplo 100 metros, y medimos dos ángulos de 30º y 45º desde la torre, la altura h y la distancia d puede ser calculada mediante el llamado teorema del seno, pero nosotros podemos evitar la trigonometría, usando un software de geometría, por ejemplo Geogebra, donde dibujaremos los triángulos a escala (por ejemplo, tomaremos como distancia entre los dos barcos 10 cm, así que cada centímetro equivaldrá a 10 metros) El mismo programa una vez hecha la construcción nos dará h y d

Así pues la altura de la torre era de 136,6 metros, y la distancia horizontal del primer barco a la base de la torre es de 236,66 metros.
Naturalmente Jorge Juan y Ulloa, emplearon trigonometría, y tuvieron muchas más dificultades : el mar siempre está al mismo nivel, pero no así la tierra firme que tiene pendientes, tuvieron que repetir muchas veces el proceso, y tuvieron también que tener mucho cuidado de no desviarse de la dirección Norte-Sur que marca el meridiano, pero con mucha minuciosidad tuvieron éxito.
La pregunta que dejo abierta es la siguiente: "para medir el arco del meridiano se debe de  marcar un punto del ecuador (los rayos caen verticales en el equinoccio como en la Siena de Erastótenes) y hay que moverse a través de un meridiano una distancia donde los rayos del  sol en el equinoccio caigan  con un ángulo apreciable distinto de la vertical" Sin tener un GPS, pero sí un reloj exacto y la hora del mediodía en  el meridiano 0 u otro meridiano ¿Cómo podemos estar seguros de que estamos sobre el mismo meridiano y no nos hemos desviado? 

¿Puedes decir a que hora pasó el sol por el meridiano 0 en el últimos solsticio?

La medición de alturas y distancias I

Uno de las tareas que ha "consumido" más materia gris de los científicos en todas las épocas ha sido la medición de  distancias inaccesibles. La primera leyenda de la que se tiene conciencia, fue el método con que Thales de Mileto, midió la altura de la gran pirámide de Egipto, midiendo la sombra de un palo, del que conocía su longitud, y la de dicha pirámide, aplicando la semejanza de triángulos. Este experimento puede ser usado fácilmente para medir árboles y partes altas del edificio de nuestro instituto. La herramienta Geogebra, nos permitirá reproducir a escala las longitudes y calcular la que os falta fácilmente. Este método puede también servir para deterninar el ángulo que forma el sol con el cénit que el día del equinoccio coincide con la latitud, experiencia que realizamos y nos sirvió para calcular la latitud de Montejícar con un pequeño error de 14 minutos de grado.

Estas dos experiencias se basan en la suposición de que los rayos del sol nos llegan paralelos a cualquier punto de la Tierra y la diferencia de ángulos que observamos en distintos lugares es debida a la curvatura del planeta . Basándose en eso Erastótenes ideó un método para calcular la medida de la circunferencia de la Tierra (todavía hay gente que cree, que antiguamente se creía que esta era plana). El problema de su método era calcular una distancia horizontal bastante grande (aunque bastante menos que la que pretendía), lo cual no era ni continúa siendo fácil.

En el siglo XVII y XVIII, se estableció la disputa si la Tierra estaba achatada por los polos, o si era puntiaguda (como un balón de rugby) en estos. La academia de las Ciencias de París decidió comprobarlo y organizó dos expediciones, una al ecuador y otra a Laponia, donde se mediría un determinado ángulo de la Tierra en cada lugar, por un experimento similar al de Erastótenes, y se calcularía la distancia sobre la Tierra a que correspondería: si la tierra es achatada por los polos, un mismo ángulo allí corresponería a menos distancia en la superficie terrestre, como efectivamente se comprobó. En la siguiente figura se visualiza exageradamente, la propiedad descrita para cada caso.

La expedición al ecuador, se realizó en tierras de la corona española, por lo que el rey de España, Felipe V, tuvo que dar su consentimiento, y aprovechó para enviar a dos jóvenes guardiamarinas españoles, Jorge Juan y Antonio de Ulloa, que colaboraron (o mejor dicho realizaron) con la medición.

Para tener más información de todo esto puedes leer el artículo:

250 años de una aventura científica

Este fue sin duda el primer logro reconocido de las matemáticas españolas en la edad moderna, con permiso de la Analysis Geometrica de Omerique (en la época medieval hubo grandes matemáticos árabes, judios y cristianos en nuestro país), aunque en un principio los franceses se atribuyeron todo el mérito.

Queda sin embargo, una cuestión ¿cómo se pueden calcular grandes distancias de decenas o centenas de kilómetros sin cometer grandes  errores?
En la próxima entrada intentaremos dar solución a esta pregunta

Los polinomios y III

Los polinomios son pues, expresiones cuyos términos son monomios, o dicho de otra forma es una suma de monomios no semejantes.
Como el resto de las expresiones algebraicas, los polinomios toman un valor numérico si sustituimos las letras por números.

Los polinomios pueden sumarse, reduciéndose sus monomios semejantes, también restarse, lo que se hace sumando al primero el opuesto del segundo (es decir, al segundo polinomio le cambiamos el signo y se lo sumamos al primero). Estas operaciones pueden realizarse de dos formas: realizando la suma en la misma línea



O bien alineando en una o varias líneas los términos semejantes (preferible cunado los polinomios tienen una sola letra, la x usualmente)




Los polinomios también pueden multiplicarse, para ellos elegimos uno de los dos polinomios factores, y multiplicamos cada uno de sus monomios por todos los monomios del otro, y al final reducimos los términos semejantes
Como en el caso anterior, se puede hacer la multiplicación en la misma línea (preferible para polinomios con  varias letras o también para los cortos)

Los polinomios 2 (monomios)

<sup>De todas las expresiones algebraicas las más usadas son los polinomios  Como sabras, el prefijo poli signifca en griego varios, polígono, poliedro, políglota, polivalente...Luego el polinomio debe estar formado por varias unidades, y estas unidades se llaman monomios (mono significa en griego uno, monólogo, monofásico, monema, monóculo....son palabras formadas con este prefijo)

Un monomio es una expresión algebraica, que consta de un sólo término, es decir, en las operaciones que aparecen no hay sumas ni restas y además los exponentes que aparecen en las letras son números naturales. Sus partes son coeficiente (incluye el signo) y parte literal



Para ver lo que es un término, o un monomio observa el siguiente vídeo, en el veras sus partes. Ten en cuenta que nosotros definimos coeficiente al número y al signo, y parte literal a las letras con sus exponentes.</sup>


Dentro de los monomios es importante ver lo que son monomios semejantes, pues al sumar dos monomios que lo sean pueden reducirse
Fíjat


Los monomios pueden también multiplicarse, multiplicando por un lado sus coeficientes y por otra sus partes literales, lo cual se hace sumando los exponentes de las letras iguales



Recuerda entonces que de un monomio hay que saber

• Definición y diferencias  con otras expresiones algebraicas
• Sus partes: coeficiente y parte literal
• El concepto de monomios semejances y su reducción mediante suma y resta
• La multiplicación de monomios
• Valor numérico (similar para cualquier expresión algebraica)

Los polinomios1 (Expresiones algebraicas)

Los polinomios, son el tipo más importantes de expresiones algebraicas, es decir expresiones matemáticas que combinan letras, números y operaciones. Las letras son símbolos que representan números indeterminados.
Las expresiones algebraicas se usan para expresar identidades matemáticas, así por ejemplo, si queremos decir que elevar un número al cuadrado es multiplicarlo por si mismo 2 veces, se puede escribir

a² = a·a

de esta forma  "a"  representa a cualquier número

Las identidades notables, son un ejemplo de este tipo de expresiones 
 

Las expresiones algebraicas también pueden usarse para representar  ecuaciones, es decir, en este caso las letras representannúmeros que no sabemos lo que valen, pero que no puede ser cualquiera como el número anterior.

3x + 5 = 2x +9

(Recuerda que en matemáticas se puede omitir el signo de multiplicar "·" en muchos casos, entre un número y una letra, entre dos letras, entre un número y un paréntesis...)

En este caso x representa a los números que hacen que los dos miembros de la ecuación valgan lo mismo. Es decir, si x vale 4, tenemos

Primer miembro: 3 · 4 + 5 = 12 + 5 = 17

Segundo miembro: 2 · 4 + 9 = 17 

Luego x = 4 

 Sin embargo, esto sólo es cierto para este número, (prueba con otros y compróbalo)

 ¿Observas la diferencia de una ecuación y una identidad matemática?

Las expresiones algebraicas también sirven para representar funciones:
Imagina una llamada telefónica a un país extranjero, el costo de la llamada se desglosa en dos partes:

• Establecimiento de llamada: Es decir, el dinero que la compañia cobra, en el momento en que se establece la comunicación: supongamos que en este caso la llamada vale un euro
• Tiempo de la llamada: Es decir, el dinero que se cobra dependiendo de lo larga que sea la llamada: Supongamos que es de 0,01€ por segundo.

Así si queremos expresar de una manera corta el coste de una llamada, podemos hacer por ejemplo, llamar "c" al coste de la llamada y "t" al tiempo de duración, según esto:

c = 1 + 0,01t 

 

Donde c es el coste en euros y t el tiempo en segundos

De esta forma hallamos el coste, sin más que sustituir "t" por los segundos que ha durado la llamada.

Estas expresiones se llaman funciones, porque nos relacionan una magnitud (el costo), en función de lo que vale la otra (el tiempo).

. Aquí la letra t, representa todos los tiempos que puede durar una llamada (variable independiente), mientras que la letra c toma un valor distinto para cada valor de t

Como puede verse una función, es en cierto modo,también una ecuación, pero que por lo general tiene muchas soluciones (a cada valor de t, le corresponde uno de c), pero su "objetivo" es otro.

¿Eres capaz de ver las diferencias entre identidades, ecuaciones y funciones?

Las expresiones algebraicas sirven para muchas más cosas, pero como ves, expresan en un lenguaje, conciso y preciso expresiones matemáticas. Tienen las siguientes ventajas:

• Son mucho más breves (concisas) que las expresiones verbales
• Son más precisas, nunca tienen doble interpretación.
• Una vez dominadas sus reglas son más sencillas.
• Tienen reglas para operar entre ellas (que están directamente sacadas de las propiedades de los números)
• Son mucho más generales, de forma que se pueden clasificar en familias y sacar propiedades generales que se aplican a un gran número de expresiones con aplicaciones diversas en multitud de campos distintos.
• Es una forma ideal mejorar nuestra capacidad comprensiva, permitiendo extrar lo principal de mensajes orales y escritos, y buscar errores e imprecisiones en estos.

También tienen sus inconvenientes, aunque estos sólo son de "aprendizaje"

• El "traducir" situaciones a lenguaje algebraico, requiere esfuerzo intelectual y práctica,  y es difícil mecanizar.
• A menudo el estudiante se centra en la parte mecánica (operaciones) y se olvida del significado que tienen las expresiones
• Requiere un desarrollo intelectual, por lo que apenas se toca en primaria.

Pero todo esto hace del algebra un medio ideal para desarrollar capacidades de pensamiento abstracto (la sintaxis en Lengua es otro recurso excelente)

Matemáticos importantes en el desarrollo del álgebra fueron entre otros Al-Jwarizmi, Cardano, Viete, Gauss, Ruffini, Abel y Galois