La medición de altura y distancias II

Ya Ersatótenes midió grandes distancias, contando las vueltas que dan las ruedas de un carro, este sistema es el que usa el cuantakilómetros de nuestro coche, pero ¿que pasa si hay un obstáculo en el medio en el cual nuestro coche no puede pasar? Deberíamos dar un rodeo, pero entonces la distancia variaría. Este problema, fue el que se encontraron Jorge Juan y Antonio de Ulloa, cuando quisieron medir el grado del meridiano. Una cuestión similar encontramos cuando queremos medir la altura de una montaña. Hoy en día los satélites y sus láseres, nos resuelven el problema, pero no olvidemos que estos aparatos deben ser calibrados con medidas hechas por otro método.
Visualizaremos la cuestión con el siguiente ejemplo: Imaginemos que desde el mar queremos medir la distancia y la altura que nos separa a una torre sobre una montaña. Para ellos necesitaremos un aparato de medida de ángulos y un dispositivo para medir distancias.

Si realizamos dos mediciones de ángulos desde dos puntos separados por ejemplo 100 metros, y medimos dos ángulos de 30º y 45º desde la torre, la altura h y la distancia d puede ser calculada mediante el llamado teorema del seno, pero nosotros podemos evitar la trigonometría, usando un software de geometría, por ejemplo Geogebra, donde dibujaremos los triángulos a escala (por ejemplo, tomaremos como distancia entre los dos barcos 10 cm, así que cada centímetro equivaldrá a 10 metros) El mismo programa una vez hecha la construcción nos dará h y d

Así pues la altura de la torre era de 136,6 metros, y la distancia horizontal del primer barco a la base de la torre es de 236,66 metros.
Naturalmente Jorge Juan y Ulloa, emplearon trigonometría, y tuvieron muchas más dificultades : el mar siempre está al mismo nivel, pero no así la tierra firme que tiene pendientes, tuvieron que repetir muchas veces el proceso, y tuvieron también que tener mucho cuidado de no desviarse de la dirección Norte-Sur que marca el meridiano, pero con mucha minuciosidad tuvieron éxito.
La pregunta que dejo abierta es la siguiente: "para medir el arco del meridiano se debe de  marcar un punto del ecuador (los rayos caen verticales en el equinoccio como en la Siena de Erastótenes) y hay que moverse a través de un meridiano una distancia donde los rayos del  sol en el equinoccio caigan  con un ángulo apreciable distinto de la vertical" Sin tener un GPS, pero sí un reloj exacto y la hora del mediodía en  el meridiano 0 u otro meridiano ¿Cómo podemos estar seguros de que estamos sobre el mismo meridiano y no nos hemos desviado? 

¿Puedes decir a que hora pasó el sol por el meridiano 0 en el últimos solsticio?

La medición de alturas y distancias I

Uno de las tareas que ha "consumido" más materia gris de los científicos en todas las épocas ha sido la medición de  distancias inaccesibles. La primera leyenda de la que se tiene conciencia, fue el método con que Thales de Mileto, midió la altura de la gran pirámide de Egipto, midiendo la sombra de un palo, del que conocía su longitud, y la de dicha pirámide, aplicando la semejanza de triángulos. Este experimento puede ser usado fácilmente para medir árboles y partes altas del edificio de nuestro instituto. La herramienta Geogebra, nos permitirá reproducir a escala las longitudes y calcular la que os falta fácilmente. Este método puede también servir para deterninar el ángulo que forma el sol con el cénit que el día del equinoccio coincide con la latitud, experiencia que realizamos y nos sirvió para calcular la latitud de Montejícar con un pequeño error de 14 minutos de grado.

Estas dos experiencias se basan en la suposición de que los rayos del sol nos llegan paralelos a cualquier punto de la Tierra y la diferencia de ángulos que observamos en distintos lugares es debida a la curvatura del planeta . Basándose en eso Erastótenes ideó un método para calcular la medida de la circunferencia de la Tierra (todavía hay gente que cree, que antiguamente se creía que esta era plana). El problema de su método era calcular una distancia horizontal bastante grande (aunque bastante menos que la que pretendía), lo cual no era ni continúa siendo fácil.

En el siglo XVII y XVIII, se estableció la disputa si la Tierra estaba achatada por los polos, o si era puntiaguda (como un balón de rugby) en estos. La academia de las Ciencias de París decidió comprobarlo y organizó dos expediciones, una al ecuador y otra a Laponia, donde se mediría un determinado ángulo de la Tierra en cada lugar, por un experimento similar al de Erastótenes, y se calcularía la distancia sobre la Tierra a que correspondería: si la tierra es achatada por los polos, un mismo ángulo allí corresponería a menos distancia en la superficie terrestre, como efectivamente se comprobó. En la siguiente figura se visualiza exageradamente, la propiedad descrita para cada caso.

La expedición al ecuador, se realizó en tierras de la corona española, por lo que el rey de España, Felipe V, tuvo que dar su consentimiento, y aprovechó para enviar a dos jóvenes guardiamarinas españoles, Jorge Juan y Antonio de Ulloa, que colaboraron (o mejor dicho realizaron) con la medición.

Para tener más información de todo esto puedes leer el artículo:

250 años de una aventura científica

Este fue sin duda el primer logro reconocido de las matemáticas españolas en la edad moderna, con permiso de la Analysis Geometrica de Omerique (en la época medieval hubo grandes matemáticos árabes, judios y cristianos en nuestro país), aunque en un principio los franceses se atribuyeron todo el mérito.

Queda sin embargo, una cuestión ¿cómo se pueden calcular grandes distancias de decenas o centenas de kilómetros sin cometer grandes  errores?
En la próxima entrada intentaremos dar solución a esta pregunta