Los polinomios1 (Expresiones algebraicas)

Los polinomios, son el tipo más importantes de expresiones algebraicas, es decir expresiones matemáticas que combinan letras, números y operaciones. Las letras son símbolos que representan números indeterminados.
Las expresiones algebraicas se usan para expresar identidades matemáticas, así por ejemplo, si queremos decir que elevar un número al cuadrado es multiplicarlo por si mismo 2 veces, se puede escribir

a² = a·a

de esta forma  "a"  representa a cualquier número

Las identidades notables, son un ejemplo de este tipo de expresiones 
 

Las expresiones algebraicas también pueden usarse para representar  ecuaciones, es decir, en este caso las letras representannúmeros que no sabemos lo que valen, pero que no puede ser cualquiera como el número anterior.

3x + 5 = 2x +9

(Recuerda que en matemáticas se puede omitir el signo de multiplicar "·" en muchos casos, entre un número y una letra, entre dos letras, entre un número y un paréntesis...)

En este caso x representa a los números que hacen que los dos miembros de la ecuación valgan lo mismo. Es decir, si x vale 4, tenemos

Primer miembro: 3 · 4 + 5 = 12 + 5 = 17

Segundo miembro: 2 · 4 + 9 = 17 

Luego x = 4 

 Sin embargo, esto sólo es cierto para este número, (prueba con otros y compróbalo)

 ¿Observas la diferencia de una ecuación y una identidad matemática?

Las expresiones algebraicas también sirven para representar funciones:
Imagina una llamada telefónica a un país extranjero, el costo de la llamada se desglosa en dos partes:

• Establecimiento de llamada: Es decir, el dinero que la compañia cobra, en el momento en que se establece la comunicación: supongamos que en este caso la llamada vale un euro
• Tiempo de la llamada: Es decir, el dinero que se cobra dependiendo de lo larga que sea la llamada: Supongamos que es de 0,01€ por segundo.

Así si queremos expresar de una manera corta el coste de una llamada, podemos hacer por ejemplo, llamar "c" al coste de la llamada y "t" al tiempo de duración, según esto:

c = 1 + 0,01t 

 

Donde c es el coste en euros y t el tiempo en segundos

De esta forma hallamos el coste, sin más que sustituir "t" por los segundos que ha durado la llamada.

Estas expresiones se llaman funciones, porque nos relacionan una magnitud (el costo), en función de lo que vale la otra (el tiempo).

. Aquí la letra t, representa todos los tiempos que puede durar una llamada (variable independiente), mientras que la letra c toma un valor distinto para cada valor de t

Como puede verse una función, es en cierto modo,también una ecuación, pero que por lo general tiene muchas soluciones (a cada valor de t, le corresponde uno de c), pero su "objetivo" es otro.

¿Eres capaz de ver las diferencias entre identidades, ecuaciones y funciones?

Las expresiones algebraicas sirven para muchas más cosas, pero como ves, expresan en un lenguaje, conciso y preciso expresiones matemáticas. Tienen las siguientes ventajas:

• Son mucho más breves (concisas) que las expresiones verbales
• Son más precisas, nunca tienen doble interpretación.
• Una vez dominadas sus reglas son más sencillas.
• Tienen reglas para operar entre ellas (que están directamente sacadas de las propiedades de los números)
• Son mucho más generales, de forma que se pueden clasificar en familias y sacar propiedades generales que se aplican a un gran número de expresiones con aplicaciones diversas en multitud de campos distintos.
• Es una forma ideal mejorar nuestra capacidad comprensiva, permitiendo extrar lo principal de mensajes orales y escritos, y buscar errores e imprecisiones en estos.

También tienen sus inconvenientes, aunque estos sólo son de "aprendizaje"

• El "traducir" situaciones a lenguaje algebraico, requiere esfuerzo intelectual y práctica,  y es difícil mecanizar.
• A menudo el estudiante se centra en la parte mecánica (operaciones) y se olvida del significado que tienen las expresiones
• Requiere un desarrollo intelectual, por lo que apenas se toca en primaria.

Pero todo esto hace del algebra un medio ideal para desarrollar capacidades de pensamiento abstracto (la sintaxis en Lengua es otro recurso excelente)

Matemáticos importantes en el desarrollo del álgebra fueron entre otros Al-Jwarizmi, Cardano, Viete, Gauss, Ruffini, Abel y Galois